Лекальные кривые

В отличие от коробовых кривых, которые строят и обводят с помощью циркуля, для построения лекальной кривой необходимо определить ряд принадлежащих ей точек и соединить их затем с помощью лекала.

К лекальным кривым относятся так называемые конические сечения: эллипс, парабола и гипербола, которые получаются в результате сечения поверхности кругового конуса плоскостями.

При построении профиля зуба зубчатых колес и реек применяются лекальные кривые: циклоида, эпициклоида, гипоциклоида, эвольвента окружности. В технике находят применение и другие лекальные кривые: синусоида, косинусоида и пр.

Рассмотрим построение некоторых лекальных кривых.

Эллипсом называется плоская замкнутая кривая, у которой сумма расстояний от каждой точки, лежащей на этой кривой, до двух данных точек F1 и F2 есть величина постоянная, равная большой оси эллипса (рис. 48, а). Точки F1 и F2 называются фокусами эллипса, расстояние между ними — фокусным расстоянием, а отрезки прямых F1M и F2M — радиусами—векторами.

Эллипс получается сечением кругового конуса или кругового цилиндра плоскостью, наклоненной к его оси и пересекающей все его образующие (рис. 48,б).

Для нахождения фокусов F1 и F2 эллипса (см. рис. 48, а) из точки В (или В1) проводят дугу радиусом, равным половине большой оси АО = ОА1, до пересечения с большой осью эллипса.

Обычно эллипсы строят по заданным большой и малой осям. Одно из таких построений показано на рис. 48, в. Из точки О — центра эллипса — проводят две окружности: одну радиусом, равным большой полуоси, другую радиусом, равным малой полуоси.

Через центр О проводят ряд промежуточных диаметров. Из точек пересечения этих диаметров с большой окружностью проводят линии, параллельные малой оси эллипса, а из точек пересечения их с малой окружностью — параллельные большой оси. Пересечение этих линий определяют точки эллипса.

Параболой называется плоская незамкнутая кривая, каждая точка которой расположена на одинаковом расстоянии от заданной прямой MN, называемой директрисой (направляющей), и точки F, называемой фокусом параболы (рис. 49,а).

На оси симметрии x находится точка А — вершина параболы и точка F — ее фокус. Вершина параболы А расположена в середине между фокусом и директрисой.

Парабола получится, если конус рассечь плоскостью, параллельной одной из его образующих (рис. 49,6).

Существует несколько графических способов построения параболы.

Построение точек параболы по заданным фокусу F и директрисе MN производится, как показано на рис. 49, а. Через фокус F проводят прямую, перпендикулярную директрисе,— ось параболы; чтобы получить точку А — вершину параболы, отрезок EF от фокуса до направляющей делят пополам (ЕА = EF/2). На оси параболы от ее вершины откладывают несколько отрезков произвольной длины с постепенным увеличением расстояния между ними. Через точки деления проводят перпендикуляры к оси и на этих перпендикулярах делают засечки (дуги) из фокуса F радиусами, равными расстоянию от направляющей до соответствующего перпендикуляра. Например, взяв перпендикуляр к оси параболы на расстоянии L от направляющей MN, из точки F проводят дугу радиусом R = L; в пересечении дуги с перпендикуляром находят точку параболы М и симметричную ей точку, принадлежащую параболе. Так же находят и другие точки параболы (К, С и пр.). Полученные точки соединяют по лекалу.

Если заданы вершина параболы А, точка М, принадлежащая параболе, и направление оси параболы, то ее точки находят следующим образом (рис. 49, в).Строят прямоугольник АВМО. Его стороны АВ и ВМ делят на одинаковое количество равных частей. Через точки деления на стороне АВ проводят прямые, параллельные оси параболы. Прямые проводят также и через точки деления стороны ВМ и вершину параболы А. Точки пересечения соответствующих прямых принадлежат параболе.

На рис. 49,г показано построение параболы, для которой заданы положения двух точек — М и N и двух касательных к параболе, проходящих через эти точки. Параболу вписывают в ломаную линию, образуемую пересечением прямых, проводимых через точки деления сторон заданного угла.

Гиперболой называется плоская кривая, у которой разность расстояний от каждой ее точки до двух данных точек F1 и F2, называемых фокусами, есть величина постоянная и равная расстоянию между вершинами А и А1 гиперболы; MF2 — MF1 = AA1 (рис. 50,а).

Гипербола состоит из двух симметричных ветвей и имеет две оси симметрии.

Каждая ветвь получается сечением поверхности кругового конуса плоскостью, параллельной двум его образующим или, в частном случае, оси конуса (рис. 50,6).

Ось, на которой расположены фокусы F1 и F2 (рис. 50,а), называется действительной осью гиперболы, а перпендикулярная ей ось — мнимой.

Точка О — пересечение двух осей гиперболы — называется центром гиперболы (центром симметрии).

Отрезки F1M и F2M, соединяющие любую точку гиперболы с фокусами, называются радиусами-векторами гиперболы.

Прямые О К и ОК1, проходящие через центр гиперболы и касающиеся ее ветвей в бесконечности, называются асимптотами.

На рис. 50, в показано построение гиперболы по заданным фокусному расстоянию F1F2 и положению вершин А и А1.

Проводят две взаимно перпендикулярные оси гиперболы x и y, в пересечении которых лежит точка О. На действительной оси x отмечают фокусы F1 и F2, а также вершины гиперболы — точки А и Ах.

На оси x справа от точки О наносят ряд произвольных точек 1, 2, 3 (желательно, чтобы расстояния между этими точками последовательно увеличивались). Из точек F1 и F2 проводят дуги радиусом R = 1A. Из тех же точек F1 и F2 чертят дуги радиусом R1 = 1А1. Пересечения полученных дуг отметят точки гиперболы I. В самом деле, разность расстояний от этих точек до фокусов R –R1, равна расстоянию АА1 между вершинами гиперболы, так как 1А – lA1 = АА1. Точки II, III и т. д. найдены тем же приемом.

Часто в черчении приходится строить гиперболу, у которой асимптоты взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами углов между действительной и мнимой осями. Чтобы в этом случае вычертить гиперболу, должна быть задана одна из ее точек, например А (рис. 50, г). Построение других точек гиперболы видно из чертежа. Точки 1, 2, 3, 4, расположенные на вертикальной прямой, взяты произвольно.

Эвольвентой или разверткой окружности называется плоская кривая, которая является траекторией движения любой точки прямой, перекатывающейся без скольжения по окружности.

Чтобы представить указанную кривую (рис. 51), вообразим, что на цилиндре намотана нить, один конец которой закреплен на нем неподвижно, а на другом конце (в точке А) помещено острие карандаша.

Натягивая конец нити (точку А) и одновременно сматывая ее с цилиндра, опишем карандашом плоскую кривую, которая и будет эвольвентой окружности.

Для построения эвольвенты (развертки) окружности заданного радиуса окружность делят на несколько равных частей (например, на 12). В точках деления 1, 2, 3, 4 ит. д. проводят касательные к окружности. На касательной, проведенной через точку 12, откладывают длину окружности, равную πD, которую делят также на 12 равных частей. Каждая из этих частей равна длине 1/12 дуги окружности.

Последовательно на касательных откладывают размеры одной, двух, трех и т. д. дуг и получают точки I, II, III и т. д. Соединяя эти точки кривой с помощью лекала, получают эвольвенту окружности.

Синусоидой называется плоская кривая, показывающая изменение тригонометрической функции синуса в зависимости от изменения величины угла а.

Построение синусоиды показано на рис. 52.

Через центр О заданной окружности проводят ось x. От произвольно взятой точки О1 на оси x откладывают отрезок О1А, равный длине заданной окружности πD.

Отрезок О1А и окружность делят на одинаковое число равных частей (например, на 12).

Через полученные точки окружности проводят прямые, параллельные оси x, а через точки деления отрезка О1А — перпендикуляры к оси х.

Соединяя полученные в пересечении этих прямых точки 1,2, 3, …,12 плавной кривой с помощью лекала, получают синусоиду. Отрезок О1А называется периодом синусоиды (длиной волны). Наибольшее отклонение точки синусоиды от оси называется амплитудой (размахом) синусоиды и равно радиусу окружности ОЕ.

Спиралью Архимеда называется плоская кривая, которую опишет точка, равномерно вращающаяся вокруг заданного центра и равномерно удаляющаяся от него.

Построение спирали Архимеда изображено на рис. 53.

Для получения первого витка спирали проводят окружность радиуса R, равного перемещению точки от центра за время одного ее оборота. Проведенную окружность делят на несколько равных частей (например, на 8). На такое же число равных частей должен быть разделен радиус окружности O81. В точке О будет начало витка. Точка I будет расположена на прямой O11 на расстоянии O1 от центра О, точка II — на прямой O2 1 на расстоянии ОII и т. д.

В результате получаются точки спирали I, II, III, IV, …, VIII (конец первого витка).

При построении следующего витка откладывают отрезок 11IX, равный O1; отрезок 21Х, равный ОII, и т. д. Точки IX, X и XI будут принадлежать второму витку спирали.

Циклоидальной называется плоская кривая, являющаяся траекторией движения точки окружности, катящейся без скольжения по прямой линии или по дуге окружности.

Окружность, на которой расположена точка, образующая циклоидальную кривую, называется производящей. Линия, по которой катится окружность, называется направляющей.

При качении по прямой направляющей точка окружности опишет линию, которая называется циклоидой (рис. 54).

Для построения циклоиды чертят производящую окружность диаметра D и касательную к ней направляющую АВ.

Задача сводится к тому, чтобы зафиксировать ряд последовательных положений точки А при качении окружности по прямой. Для этого производящая окружность разделена на 12 равных частей; на столько же частей разделен отрезок направляющей АВ = πD.

За 1/12 оборота центр окружности переместится на 1/12 и займет положение O1 точка А переместится в то же время по окружности на 1/12 оборота и займет положение  А1.  Аналогично  отмечают положения точек А2, А3, А4 и т. д. Через полученные точки с помощью лекала проводят кривую линию — циклоиду.

Плоская кривая, которую опишет точка производящей окружности, катящейся без скольжения по наружной стороне другой, неподвижной, направляющей окружности, называется эпициклоидой (рис. 55 ).

Для построения эпициклоиды проводят производящую окружность радиуса R1 с центром О и направляющую дугу АА12 радиуса R1 с центром в точке О1.

На направляющей дуге окружности откладывают отрезок дуги АА12, равный длине производящей окружности (2πR). Эту дугу можно построить, определив центральный угол по формуле

где R — радиус производящей окружности; R1— радиус направляющей дуги.

Отрезок направляющей дуги, а также производящую окружность делят на несколько равных частей (например, на 12).

Через центр О производящей окружности и точки деления на ней проводят дуги из центра О1 направляющей дуги, а через точки 1, 2, 3 и т. д. на направляющей дуге — радиусы из того же центра, которые пересекут дугу ОО1 в точках 11 31, …, 121.

При качении производящей окружности по дуге А А12 центр О будет перемещаться по дуге 001.

Как и при построении циклоиды, точки А1, А2, А3, А12 пересечения окружностей, проведенных из полученных центров 11 31, …, 121.с соответствующими дугами, проведенными из центра О1, через деления на окружности, будут являться точками эпициклоиды.

Точка производящей окружности, катящейся без скольжения по внутренней стороне другой направляющей окружности, опишет кривую, которая называется гипоциклоидой (рис. 56). Построение гипоциклоиды аналогично построению эпициклоиды.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *